This method can be used to compute the $X$-resultant of a projective variety. Here, we compute the $X$-resultant of the twisted cubic curve.
i1 : C = kernel veronese(1,3) 2 2 o1 = ideal (x - x x , x x - x x , x - x x ) 2 1 3 1 2 0 3 1 0 2 o1 : Ideal of QQ[x ..x ] 0 3 |
i2 : time fromPluckerToStiefel dualize chowForm C -- used 0.0821546 seconds 3 3 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 o2 = - x x + x x x x - x x x x + x x x - x x x x + 2x x x x + 0,3 1,0 0,2 0,3 1,0 1,1 0,1 0,3 1,0 1,1 0,0 0,3 1,1 0,2 0,3 1,0 1,2 0,1 0,3 1,0 1,2 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 2 2 x x x x x x - 3x x x x x - x x x x x - x x x x + 2x x x x x + 0,1 0,2 0,3 1,0 1,1 1,2 0,0 0,3 1,0 1,1 1,2 0,0 0,2 0,3 1,1 1,2 0,1 0,3 1,0 1,2 0,0 0,2 0,3 1,0 1,2 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 3 3 2 2 2 2 2 x x x x x - x x x + x x x - 3x x x x x + 3x x x x - x x x x x + 0,0 0,1 0,3 1,1 1,2 0,0 0,3 1,2 0,2 1,0 1,3 0,1 0,2 0,3 1,0 1,3 0,0 0,3 1,0 1,3 0,1 0,2 1,0 1,1 1,3 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 2 2 2x x x x x + x x x x x x + x x x x - 2x x x x x + x x x x x - 0,1 0,3 1,0 1,1 1,3 0,0 0,2 0,3 1,0 1,1 1,3 0,0 0,2 1,1 1,3 0,0 0,1 0,3 1,1 1,3 0,1 0,2 1,0 1,2 1,3 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 2 2x x x x x - x x x x x x - x x x x x x + 3x x x x x + x x x x - 0,0 0,2 1,0 1,2 1,3 0,0 0,1 0,3 1,0 1,2 1,3 0,0 0,1 0,2 1,1 1,2 1,3 0,0 0,3 1,1 1,2 1,3 0,0 0,2 1,2 1,3 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x + 3x x x x x - 3x x x x + x x x x - 2x x x x - x x x x + 0,1 1,0 1,3 0,0 0,1 0,2 1,0 1,3 0,0 0,3 1,0 1,3 0,0 0,1 1,1 1,3 0,0 0,2 1,1 1,3 0,0 0,1 1,2 1,3 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 3 x x 0,0 1,3 o2 : QQ[x ..x ] 0,0 1,3 |
i3 : time fromPluckerToStiefel(dualize chowForm C,AffineChartGrass=>{0,1}) -- used 0.0660733 seconds 3 2 2 2 3 2 o3 = - x x + x x x - x x x + x x + 3x x x - 2x x + x + x 0,3 1,2 0,2 1,2 1,3 0,2 0,3 1,2 0,2 1,3 0,3 1,2 1,3 0,2 1,3 1,3 0,3 o3 : QQ[x ..x ] 0,2 1,3 |
i4 : fromPluckerToStiefel(dualize chowForm C,AffineChartGrass=>{2,3},Variable=>a) 3 2 3 2 2 2 o4 = - a a + a a a + a + 3a a a - 2a a - a a a + a a + a 0,1 1,0 0,0 0,1 1,1 0,0 0,0 0,1 1,0 0,0 1,1 0,1 1,0 1,1 0,0 1,1 1,0 o4 : QQ[a ..a ] 0,0 1,1 |
As another application, we check that the singular locus of the Chow form of the twisted cubic has dimension 2 (on each standard chart).
i5 : w = chowForm C; |
i6 : time U = apply(subsets(4,2),s->ideal fromPluckerToStiefel(w,AffineChartGrass=>s)) -- used 0.0362451 seconds 3 2 3 2 2 2 2 3 o6 = {ideal(- x x + x x x - x - 3x x x + 2x x + x x x - x x + x ), ideal(x x - 0,3 1,2 0,2 1,2 1,3 0,2 0,2 0,3 1,2 0,2 1,3 0,3 1,2 1,3 0,2 1,3 0,3 0,3 1,1 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 3 2 2 2 2x x x x + x x x + x + 3x x x - x x + x x x - x ), ideal(x x - x x x x 0,1 0,3 1,1 1,3 0,1 1,1 1,3 0,1 0,1 0,3 1,1 0,1 1,3 0,3 1,1 1,3 0,3 0,3 1,0 0,0 0,3 1,0 1,3 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 3 3 2 2 2 2 3 3 - x x - x x - 2x x - x x + 1), ideal(- x x + 3x x x x - 3x x x x + x x + 0,0 0,3 1,0 1,3 0,3 1,0 0,0 1,3 0,2 1,1 0,1 0,2 1,1 1,2 0,1 0,2 1,1 1,2 0,1 1,2 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2x x - x x x x - x x + x x + x x - x x ), ideal(x x - 2x x x x + x x x 0,2 1,1 0,1 0,2 1,1 1,2 0,1 1,2 0,1 1,1 0,2 1,2 0,2 1,1 0,2 1,0 0,0 0,2 1,0 1,2 0,0 0,2 1,2 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 3 3 2 2 + x x x + 3x x x - x x + x - x ), ideal(- x x + x x x + x x x - x x - 0,0 0,2 1,0 0,2 1,0 1,2 0,0 1,2 1,2 1,0 0,1 1,0 0,0 0,1 1,1 0,0 0,1 1,0 0,0 1,1 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 3 2 3x x x + 2x x - x + x )} 0,1 1,0 1,1 0,0 1,1 1,1 1,0 o6 : List |
i7 : time apply(U,u->dim singularLocus u) -- used 0.0381059 seconds o7 = {2, 2, 2, 2, 2, 2} o7 : List |
The object fromPluckerToStiefel is a method function with options.