This function computes the score equations that arise from taking partial derivatives of the log-likelihood function of the concentration matrix (the inverse of the covariance matrix) of a Gaussian graphical statistical model and returns the ideal generated by such equations.
The input of this function is a gaussianRing and statistical data. The latter can be given as a matrix or a list of observations. The rows of the matrix or the elements of the list are observation vectors given as lists. It is possible to input the sample covariance matrix directly by using the optional input SampleData.
i1 : G = mixedGraph(digraph {{1,2},{1,3},{2,3},{3,4}},bigraph{{3,4}}); |
i2 : R = gaussianRing(G); |
i3 : U = matrix{{6, 10, 1/3, 1}, {3/5, 3, 1/2, 1}, {4/5, 3/2, 9/8, 3/10}, {10/7, 2/3,1, 8/3}}; 4 4 o3 : Matrix QQ <--- QQ |
i4 : JU=scoreEquations(R,U) o4 = ideal (192199680p - 99333449, 267221621760p - 849243924773, 1353974896462794079472640p - 142165262245288892244817, 3,4 4,4 3,3 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 6898968p - 11533057, 19600p - 95819, 20855l + 90447, 146915678869660815915l - 4228634793402814499, 2,2 1,1 3,4 2,3 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 58766271547864326366l + 4167005135395196717, 574914l - 896035) 1,3 1,2 o4 : Ideal of QQ[l ..l , l , l , p , p , p , p , p ] 1,2 1,3 2,3 3,4 1,1 2,2 3,3 4,4 3,4 |
i5 : V = sampleCovarianceMatrix U o5 = | 95819/19600 25601/3360 -2129/4480 -1313/16800 | | 25601/3360 867/64 -2321/2304 -173/192 | | -2129/4480 -2321/2304 337/3072 473/11520 | | -1313/16800 -173/192 473/11520 3641/4800 | 4 4 o5 : Matrix QQ <--- QQ |
i6 : JV=scoreEquations(R,V,SampleData=>false) o6 = ideal (192199680p - 99333449, 267221621760p - 849243924773, 1353974896462794079472640p - 142165262245288892244817, 3,4 4,4 3,3 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 6898968p - 11533057, 19600p - 95819, 20855l + 90447, 146915678869660815915l - 4228634793402814499, 2,2 1,1 3,4 2,3 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 58766271547864326366l + 4167005135395196717, 574914l - 896035) 1,3 1,2 o6 : Ideal of QQ[l ..l , l , l , p , p , p , p , p ] 1,2 1,3 2,3 3,4 1,1 2,2 3,3 4,4 3,4 |
SaturateOptions allows to use all functionalities of saturate. DoSaturate removes the saturation procedure. Note that the latter will not provide the score equations of the model.
i7 : G = mixedGraph(digraph {{1,2},{1,3},{2,3},{3,4}},bigraph{{3,4}}); |
i8 : R = gaussianRing(G); |
i9 : U = matrix{{6, 10, 1/3, 1}, {3/5, 3, 1/2, 1}, {4/5, 3/2, 9/8, 3/10}, {10/7, 2/3,1, 8/3}}; 4 4 o9 : Matrix QQ <--- QQ |
i10 : J=scoreEquations(R,U,SaturateOptions => {Strategy => Eliminate}) o10 = ideal (192199680p - 99333449, 267221621760p - 849243924773, 1353974896462794079472640p - 142165262245288892244817, 3,4 4,4 3,3 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 6898968p - 11533057, 19600p - 95819, 20855l + 90447, 146915678869660815915l - 4228634793402814499, 2,2 1,1 3,4 2,3 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 58766271547864326366l + 4167005135395196717, 574914l - 896035) 1,3 1,2 o10 : Ideal of QQ[l ..l , l , l , p , p , p , p , p ] 1,2 1,3 2,3 3,4 1,1 2,2 3,3 4,4 3,4 |
i11 : JnoSat=scoreEquations(R,U,DoSaturate=>false) o11 = ideal (- 574914l + 896035, - 2299656l p - 3584140l p - 223545l p - 223545p + 36764p , - 1,2 1,3 4,4 2,3 4,4 3,4 3,4 4,4 3,4 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 614424l p - 1092420l p - 81235l p - 81235p + 72660p , - 35385l p - 153288l p - 324940l p 1,3 4,4 2,3 4,4 3,4 3,4 4,4 3,4 3,4 3,3 1,3 3,4 2,3 3,4 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 + 13244p - 35385p , - 19600p + 95819, 1149828l - 3584140l - 235200p + 3186225, 55191744l p + 3,3 3,4 1,1 1,2 1,2 2,2 1,3 4,4 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 2 2 172038720l l p + 152938800l p + 10730160l l p p + 22745800l l p p + 1238475l p + 1,3 2,3 4,4 2,3 4,4 1,3 3,4 4,4 3,4 2,3 3,4 4,4 3,4 3,4 3,4 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 10730160l p + 22745800l p - 11289600p p - 1764672l p p - 20344800l p p + 2476950l p p - 1,3 4,4 2,3 4,4 3,3 4,4 1,3 4,4 3,4 2,3 4,4 3,4 3,4 4,4 3,4 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 2 2 2 927080l p + 11289600p p + 1238475p - 927080p p + 8563632p , 1238475l p + 10730160l l p p 3,4 3,4 4,4 3,4 4,4 4,4 3,4 3,4 3,4 3,3 1,3 3,4 3,3 3,4 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 2 2 2 + 22745800l l p p + 55191744l p + 172038720l l p + 152938800l p - 927080l p - 2,3 3,4 3,3 3,4 1,3 3,4 1,3 2,3 3,4 2,3 3,4 3,4 3,3 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 11289600p p - 1764672l p p - 20344800l p p + 2476950l p p + 10730160l p + 22745800l p + 3,3 4,4 1,3 3,3 3,4 2,3 3,3 3,4 3,4 3,3 3,4 1,3 3,4 2,3 3,4 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 11289600p p + 8563632p - 927080p p + 1238475p , - 5365080l l p p - 11372900l l p p - 3,3 3,4 3,3 3,3 3,4 3,4 1,3 3,4 3,3 4,4 2,3 3,4 3,3 4,4 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 2 1238475l p p - 55191744l p p - 172038720l l p p - 152938800l p p - 5365080l l p - 3,4 3,3 3,4 1,3 4,4 3,4 1,3 2,3 4,4 3,4 2,3 4,4 3,4 1,3 3,4 3,4 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 11372900l l p + 882336l p p + 10172400l p p - 1238475l p p + 927080l p p - 2,3 3,4 3,4 1,3 3,3 4,4 2,3 3,3 4,4 3,4 3,3 4,4 3,4 3,3 3,4 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 10730160l p p - 22745800l p p + 11289600p p p + 882336l p + 10172400l p - 1238475l p - 1,3 4,4 3,4 2,3 4,4 3,4 3,3 4,4 3,4 1,3 3,4 2,3 3,4 3,4 3,4 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 2 11289600p + 463540p p - 8563632p p - 1238475p p + 463540p ) 3,4 3,3 4,4 3,3 3,4 4,4 3,4 3,4 o11 : Ideal of QQ[l ..l , l , l , p , p , p , p , p ] 1,2 1,3 2,3 3,4 1,1 2,2 3,3 4,4 3,4 |
The ML-degree of the model is the degree of the score equations ideal. The ML-degree of the running example is 1:
i12 : G = mixedGraph(digraph {{1,2},{1,3},{2,3},{3,4}},bigraph{{3,4}}); |
i13 : R = gaussianRing(G); |
i14 : U = matrix{{6, 10, 1/3, 1}, {3/5, 3, 1/2, 1}, {4/5, 3/2, 9/8, 3/10}, {10/7, 2/3,1, 8/3}}; 4 4 o14 : Matrix QQ <--- QQ |
i15 : J = scoreEquations(R,U) o15 = ideal (192199680p - 99333449, 267221621760p - 849243924773, 1353974896462794079472640p - 142165262245288892244817, 3,4 4,4 3,3 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 6898968p - 11533057, 19600p - 95819, 20855l + 90447, 146915678869660815915l - 4228634793402814499, 2,2 1,1 3,4 2,3 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 58766271547864326366l + 4167005135395196717, 574914l - 896035) 1,3 1,2 o15 : Ideal of QQ[l ..l , l , l , p , p , p , p , p ] 1,2 1,3 2,3 3,4 1,1 2,2 3,3 4,4 3,4 |
i16 : dim J, degree J o16 = (0, 1) o16 : Sequence |
The object scoreEquations is a method function with options.