solverMLE(...,DoSaturate=>...) is set to true by default. If we set DoSaturate to false in solverMLE, saturation will not be performed when computing the score equations of the log-likelihood function, see scoreEquations(...,DoSaturate=>...).
If the ideal returned by scoreEquations has positive dimension, solverMLE gives this ideal as output.
On the other hand, if we obtain a zero-dimensional ideal in scoreEquations, solverMLE computes the solutions of this polynomial system and returns:
* the maximal value of the log-likelihood function attained by positive definite matrices corresponding to such solutions,
* the positive definite matrices where the maximum is attained,
* the degree of the zero-dimensional ideal.
Be aware that this output might not correspond to the right MLE.
i1 : G=graph{{1,2},{2,3},{3,4},{1,4}} o1 = Graph{1 => {2, 4}} 2 => {1, 3} 3 => {2, 4} 4 => {1, 3} o1 : Graph |
i2 : U=random(ZZ^4,ZZ^4) o2 = | 8 8 8 8 | | 1 3 8 5 | | 3 3 5 2 | | 7 7 7 3 | 4 4 o2 : Matrix ZZ <--- ZZ |
i3 : solverMLE(G,U,DoSaturate=>false) 131 131 2 131 2 131 2 131 2 2 131 o3 = ideal (- ---k k k k + ---k k k + ---k k k + ---k k k - ---k k + ---k k k k + 16 1,1 2,2 3,3 4,4 16 3,3 4,4 1,2 16 2,2 3,3 1,4 16 1,1 4,4 2,3 16 1,4 2,3 8 1,2 1,4 2,3 3,4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 131 2 131 2 2 2 2 83 83 2 83 2 ---k k k - ---k k + k k k - k k - k k , - --k k k k + --k k k + --k k k + 16 1,1 2,2 3,4 16 1,2 3,4 2,2 3,3 4,4 4,4 2,3 2,2 3,4 16 1,1 2,2 3,3 4,4 16 3,3 4,4 1,2 16 2,2 3,3 1,4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 83 2 83 2 2 83 83 2 83 2 2 2 2 --k k k - --k k + --k k k k + --k k k - --k k + k k k - k k - k k , - 16 1,1 4,4 2,3 16 1,4 2,3 8 1,2 1,4 2,3 3,4 16 1,1 2,2 3,4 16 1,2 3,4 1,1 3,3 4,4 3,3 1,4 1,1 3,4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 3 2 3 2 3 2 3 2 2 3 2 -k k k k + -k k k + -k k k + -k k k - -k k + 3k k k k + -k k k - 2 1,1 2,2 3,3 4,4 2 3,3 4,4 1,2 2 2,2 3,3 1,4 2 1,1 4,4 2,3 2 1,4 2,3 1,2 1,4 2,3 3,4 2 1,1 2,2 3,4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 2 2 2 2 21 21 2 21 2 21 2 -k k + k k k - k k - k k , - --k k k k + --k k k + --k k k + --k k k - 2 1,2 3,4 1,1 2,2 4,4 4,4 1,2 2,2 1,4 4 1,1 2,2 3,3 4,4 4 3,3 4,4 1,2 4 2,2 3,3 1,4 4 1,1 4,4 2,3 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 21 2 2 21 21 2 21 2 2 2 2 101 --k k + --k k k k + --k k k - --k k + k k k - k k - k k , - ---k k k k + 4 1,4 2,3 2 1,2 1,4 2,3 3,4 4 1,1 2,2 3,4 4 1,2 3,4 1,1 2,2 3,3 3,3 1,2 1,1 2,3 8 1,1 2,2 3,3 4,4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 101 2 101 2 101 2 101 2 2 101 101 2 101 2 2 ---k k k + ---k k k + ---k k k - ---k k + ---k k k k + ---k k k - ---k k - 8 3,3 4,4 1,2 8 2,2 3,3 1,4 8 1,1 4,4 2,3 8 1,4 2,3 4 1,2 1,4 2,3 3,4 8 1,1 2,2 3,4 8 1,2 3,4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 21 21 2 21 2 21 2 2k k k - 2k k k + 2k k , - --k k k k + --k k k + --k k k + --k k k - 3,3 4,4 1,2 1,4 2,3 3,4 1,2 3,4 4 1,1 2,2 3,3 4,4 4 3,3 4,4 1,2 4 2,2 3,3 1,4 4 1,1 4,4 2,3 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 21 2 2 21 21 2 21 2 2 2 --k k + --k k k k + --k k k - --k k - 2k k k + 2k k - 2k k k , - 4 1,4 2,3 2 1,2 1,4 2,3 3,4 4 1,1 2,2 3,4 4 1,2 3,4 2,2 3,3 1,4 1,4 2,3 1,2 2,3 3,4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5 5 2 5 2 5 2 5 2 2 5 2 -k k k k + -k k k + -k k k + -k k k - -k k + 5k k k k + -k k k - 2 1,1 2,2 3,3 4,4 2 3,3 4,4 1,2 2 2,2 3,3 1,4 2 1,1 4,4 2,3 2 1,4 2,3 1,2 1,4 2,3 3,4 2 1,1 2,2 3,4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5 2 2 2 9 9 2 9 2 9 2 -k k - 2k k k + 2k k - 2k k k , - -k k k k + -k k k + -k k k + -k k k - 2 1,2 3,4 1,1 4,4 2,3 1,4 2,3 1,2 1,4 3,4 2 1,1 2,2 3,3 4,4 2 3,3 4,4 1,2 2 2,2 3,3 1,4 2 1,1 4,4 2,3 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 9 2 2 9 2 9 2 2 2 -k k + 9k k k k + -k k k - -k k - 2k k k - 2k k k + 2k k ) 2 1,4 2,3 1,2 1,4 2,3 3,4 2 1,1 2,2 3,4 2 1,2 3,4 1,2 1,4 2,3 1,1 2,2 3,4 1,2 3,4 o3 : Ideal of QQ[k , k , k , k , k , k , k , k ] 1,1 2,2 3,3 4,4 1,2 1,4 2,3 3,4 |