We provide an easy example of a filtered simplicial complex and the resulting spectral sequence. This example is small enough that all aspects of it can be explicitly computed by hand.
i1 : A = QQ[a,b,c] o1 = A o1 : PolynomialRing |
i2 : D = simplicialComplex {a*b*c} o2 = | abc | o2 : SimplicialComplex |
i3 : F2D = D o3 = | abc | o3 : SimplicialComplex |
i4 : F1D = simplicialComplex {a*b,a*c,b*c} o4 = | bc ac ab | o4 : SimplicialComplex |
i5 : F0D = simplicialComplex {a,b,c} o5 = | c b a | o5 : SimplicialComplex |
i6 : K = filteredComplex({F2D,F1D,F0D}, ReducedHomology => false) o6 = -1 : image 0 <-- image 0 <-- image 0 <-- image 0 -1 0 1 2 0 : image 0 <-- image | 1 0 0 | <-- image 0 <-- image 0 | 0 1 0 | -1 | 0 0 1 | 1 2 0 1 : image 0 <-- image | 1 0 0 | <-- image | 1 0 0 | <-- image 0 | 0 1 0 | | 0 1 0 | -1 | 0 0 1 | | 0 0 1 | 2 0 1 3 3 1 2 : image 0 <-- QQ <-- QQ <-- QQ -1 0 1 2 o6 : FilteredComplex |
i7 : C = K_infinity 3 3 1 o7 = image 0 <-- QQ <-- QQ <-- QQ -1 0 1 2 o7 : ChainComplex |
i8 : E = prune spectralSequence K o8 = E o8 : SpectralSequence |
i9 : E^0 +------+------+------+ | 3 | 3 | 1 | o9 = |QQ |QQ |QQ | | | | | |{0, 0}|{1, 0}|{2, 0}| +------+------+------+ o9 : SpectralSequencePage |
i10 : E^0 .dd o10 = {-1, 0} : 0 <----- 0 : {-1, 1} 0 {-1, 1} : 0 <----- 0 : {-1, 2} 0 {-1, 2} : 0 <----- 0 : {-1, 3} 0 {2, -4} : 0 <----- 0 : {2, -3} 0 {2, -3} : 0 <----- 0 : {2, -2} 0 {2, -2} : 0 <----- 0 : {2, -1} 0 1 {2, -1} : 0 <----- QQ : {2, 0} 0 {1, -3} : 0 <----- 0 : {1, -2} 0 {1, -2} : 0 <----- 0 : {1, -1} 0 3 {1, -1} : 0 <----- QQ : {1, 0} 0 3 {1, 0} : QQ <----- 0 : {1, 1} 0 {0, -2} : 0 <----- 0 : {0, -1} 0 3 {0, -1} : 0 <----- QQ : {0, 0} 0 3 {0, 0} : QQ <----- 0 : {0, 1} 0 {0, 1} : 0 <----- 0 : {0, 2} 0 {-1, -1} : 0 <----- 0 : {-1, 0} 0 o10 : SpectralSequencePageMap |
i11 : E^1 +------+------+------+ | 3 | 3 | 1 | o11 = |QQ |QQ |QQ | | | | | |{0, 0}|{1, 0}|{2, 0}| +------+------+------+ o11 : SpectralSequencePage |
i12 : E^1 .dd o12 = {-2, 1} : 0 <----- 0 : {-1, 1} 0 {-2, 2} : 0 <----- 0 : {-1, 2} 0 {-2, 3} : 0 <----- 0 : {-1, 3} 0 {1, -3} : 0 <----- 0 : {2, -3} 0 {1, -2} : 0 <----- 0 : {2, -2} 0 {1, -1} : 0 <----- 0 : {2, -1} 0 3 1 {1, 0} : QQ <---------- QQ : {2, 0} | -1 | | 1 | | -1 | {0, -2} : 0 <----- 0 : {1, -2} 0 {0, -1} : 0 <----- 0 : {1, -1} 0 3 3 {0, 0} : QQ <---------------- QQ : {1, 0} | 1 1 0 | | -1 0 1 | | 0 -1 -1 | {0, 1} : 0 <----- 0 : {1, 1} 0 {-1, -1} : 0 <----- 0 : {0, -1} 0 3 {-1, 0} : 0 <----- QQ : {0, 0} 0 {-1, 1} : 0 <----- 0 : {0, 1} 0 {-1, 2} : 0 <----- 0 : {0, 2} 0 {-2, 0} : 0 <----- 0 : {-1, 0} 0 o12 : SpectralSequencePageMap |
i13 : E^2 +------+ | 1 | o13 = |QQ | | | |{0, 0}| +------+ o13 : SpectralSequencePage |
i14 : E^2 .dd o14 = {-3, 2} : 0 <----- 0 : {-1, 1} 0 {-3, 3} : 0 <----- 0 : {-1, 2} 0 {-3, 4} : 0 <----- 0 : {-1, 3} 0 {0, -2} : 0 <----- 0 : {2, -3} 0 {0, -1} : 0 <----- 0 : {2, -2} 0 1 {0, 0} : QQ <----- 0 : {2, -1} 0 {0, 1} : 0 <----- 0 : {2, 0} 0 {-1, -1} : 0 <----- 0 : {1, -2} 0 {-1, 0} : 0 <----- 0 : {1, -1} 0 {-1, 1} : 0 <----- 0 : {1, 0} 0 {-1, 2} : 0 <----- 0 : {1, 1} 0 {-2, 0} : 0 <----- 0 : {0, -1} 0 1 {-2, 1} : 0 <----- QQ : {0, 0} 0 {-2, 2} : 0 <----- 0 : {0, 1} 0 {-2, 3} : 0 <----- 0 : {0, 2} 0 {-3, 1} : 0 <----- 0 : {-1, 0} 0 o14 : SpectralSequencePageMap |
i15 : E^infinity +------+ | 1 | o15 = |QQ | | | |{0, 0}| +------+ o15 : Page |
i16 : prune HH K_infinity o16 = -1 : 0 1 0 : QQ 1 : 0 2 : 0 o16 : GradedModule |